\section{Решение задачи}
Покажем, что в задаче в обратном времени те же $l^*$ и там перпендикуляр.
Покажем это, честно выписав опорную функцию:
\begin{gather*}
\sufu{l}{W[t]}=\sufu{l}{W(t,t_2^*,\mathcal{X}^1)}=
\sup_{x^1, u(\cdot)}\left[\scalar{l}{x\left(t,t_1^*,x_2 \,\middle|\, u\left(\cdot\right)\right)}|u(\tau)\in\mathcal{P}(\tau), x^1\in\mathcal {X}^1\right],
\end{gather*}
\begin{align*}
x\left(t,t_1^*,x^1 \,\middle|\, u(\cdot)\right)&=X(t,t_1^*)x^1+\int_{t_1^*}^tX(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau= {} \\ &{}= X(t_1,t_1^*)x^1-
\int_t^{t_1^*}X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau.
\end{align*}
Подставим это в опорную функцию:
\begin{align*}
\sufu{l}{W[t]}&=\sup_{x^1,u(\cdot)}\left[\scalar{\tilde{l}}{X(t,t_1^*)x^1}+
\int_t^{t_1^*}\scalar{-\tilde{l}}{X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)}d\tau\right]={}\\{}&=
\sufu{X^T(t,t_1^*)\tilde{l}}{\mathcal{X}^1}+
\int_t^{t_1}\sufu{-B^TX^T(t,\tau)\tilde{l}}{\mathcal{P}(\tau)}d\tau,
\end{align*}
$$
X^T(t,\tau)l=\tilde{\psi}(\tau),\quad \dot{\tilde{\psi}}=-A^T\tilde{\psi}(t)=\tilde{l},
$$
$$
\ldots=\sufu{\tilde{\psi}(t_1^*)}{\mathcal{X}^1}+\int_{t}^{t_1}\sufu{-B^T(\tau)\tilde{\psi}(\tau)}{\mathcal{P}(\tau)}d\tau,
$$
$$
\mathcal{X}^0\cap W[t_0]\ne \varnothing.
$$
%$\psi (t_0)$ --- внешняя нормаль к $\mathcal{X}^0,$ $-\psi(t_0)$ -- к $W(t_0)$
%$u^*(\cdot) \equiv u^{l^*}(\cdot)$ -- управления, которое доставляет максимум найденной опоной функции.
%$$
%\scalar{B^T\psi(\tau)}{u^*(\tau)}=\max_{u\in \mathcal{P}(\tau)}\scalar {B^T\psi(\tau)}{u},
%$$
%для почти всех $\tau.$
Итак, у нас было
$$
\sup_{\norm{\psi_1(t)}=1}\left[-\sufu{\psi(t_0)}{\mathcal{X}^0}-\int_t^{t_1^*}
\sufu{B^T(\tau)\psi(\tau)}{\mathcal{P}(\tau)}d\tau -\sufu{-\psi(t_1)}{\mathcal{X}^1}\right]=0
$$
Легко видеть, что $$[\ldots] = -\sufu{\psi(t_0)}{\mathcal{X}^0}-\sufu{-\psi(t_0)}{W[t_0]}
$$
(Положим $\tilde{l}=-l \Rightarrow \tilde\psi = -\psi$)
Равенство $\sup [\ldots] = 0$ говорит, что $\mathcal{X}^0\cap W[t_0]\ne \varnothing,$ т.\,к. это можно записать как 
$$
\sup_{\psi(t_0):\norm{X^T(t_0,t_1^*)\psi(t_0)}=1}\left[-\sufu{\psi(t_0)}{\mathcal{X}^0}-
\sufu{-\psi(t_0)}{W[t_0]}\right]=0.
$$
 И нам без разницы, по чему перебирать, главное, чтобы везде было $<0$ и в одной точке $=0.$ Итак, действительно 
$\mathcal{X}^0\cap W[t_0]\ne \varnothing;$ $\psi(t_0)$ --- внешняя нормаль к $\mathcal{X}^0,$ $-\psi(t_0)$ --- внешняя 
нормаль к $W[t_0].$ Осталось найти оптимальные управление и траекторию; $u^*(\tau)\equiv u^{l^*}(\cdot)$ --- управление, 
доставляющее максимум в опорной функции, что равносильно принципу максимума:
$$
\scalar{B^T\psi(\tau)}{u^*(\tau)=\max_{u\in\mathcal {P}(\tau)}\scalar{B^T\psi(\tau)}{u}}
$$   
почти всюду. Ситуация с необходимыми и достаточными условиями та же, что и в предыдущей задаче. Тогда при достаточности (?) 
принципа максимума множество сильно выпукло. Польза условия трансверсальности: при гладком начальном множестве $\psi$ 
однозначно определяется по начальной точке.
Оказывается, что задача некорректна: $t_1^*$ не непрерывно зависит от $\mathcal{X}^0.$
\begin{problem}
Приведите пример, когда время $t_1^*$ разрывно зависит от $\mathcal{X}^0.$
\end{problem}
\begin{tproblem} 
Рассмотрите $\dot{x}=Ax+u$ на $\mathbb{R}^2$.
\end{tproblem}

% \begin{center}
% \Large{\textbf{Линейно-выпуклые задачи.}}
% \end{center}
% \normalsize

% \chapter{Линейно--выпуклые задачи.}
% \section{Постановка задачи}
% \begin{gather*}
% \dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t); \qquad \mbox {$A,B$ --- непрерывны}\\
% u(t)\in \mathcal{P}(t), \mathcal{P}\in \conv\mathbb{R}^n; \qquad\mathcal{P}\mbox{ --- непрерывно}\\
% x(t_0)=x^0; \quad t_1\mbox{ --- фиксировано,} x(t_1) \mbox { --- свободно;}\\
% J(u)=\int_{t_0}^{t_1}\left[g(t,x(t))+h(t,u(t))\right]dt + \varphi (x(t_1)) \to \inf,
% \end{gather*}
% где $g(t,\cdot),$ $h(t,\cdot),$ $\varphi(\cdot)$ --- выпуклы; $g(\cdot, \cdot)$ --- непрерывна по 
% $(t,x),$ $h(\cdot,\cdot)$ --- непрерывна по $(t,u),$ $\varphi(\cdot)$ --- конечная (не обязательно непрерывная).
% \section{Решение задачи (начало)}
% Примем без доказательства, что в задаче существует оптимальное управление. По теореме Фенхеля--Моро
% \begin{gather*}
% g(t,x)=\sup_{\lambda(t)}[\scalar{x}{\lambda(t)}-g^*(t,\lambda(t))]\\
% \varphi(x)=\sup_l[\scalar{x}{l}-\varphi^*(l)]\\
% J=\int_{t_0}^{t_1}\sup_\lambda\left[\scalar{x}{\lambda}-g^*(t,\lambda)+h(t,u)\right]dt+\sup_l\left[
% \scalar{l}{x}-\varphi^*(l)\right]=\\
% = \sup_{\lambda,l}\left\{\int_{t_0}^{t_1}\left(\scalar{x(t)}{\lambda(t)}- g^*(t,\lambda)+h\right)dt + \scalar{l}
% {x(t_1)-\varphi^*(l)}\right\}=\\
% =\sup_{\lambda,l}\left\{\int_{t_0}^{t_1}\left(\scalar{X(t,t_0)x^0+\int_{t_0}^{t}X(t,\tau)Bud\tau}{\lambda(t)}-
% g^*(t,x)+h\right)dt+\scalar{l}{X(t_1,t_0)x^0+\int...}-\varphi^*(l)\right\}=\\
% =\sup_{\lambda,l}\left\{\scalar{x^0}{X^T(t_1,t_0)l+\int_{t_0}^{t_1}X^T(t,t_0)\lambda(t)dt}+\int_{t_0}^{t_1}
% \scalar{B^T(\tau\left(X^T(t_1,\tau)l+ \int_{t_0}^{t_1}X^T(t,\tau)\lambda(t)dt\right))}{u(\tau)}d\tau+
% \int_{t_0}^{t_1}(-g^*(t_1,\lambda)+h)dt-\varphi^*(l)\right\}=\\
% \sup_{\lambda,l}\left\{\scalar{x^0}{\varphi(t_0)+\int_{t_0}^{t_1}\left(\scalar{B^T(t)\psi(t)}{u(t)}-g^*(t,x)+h\right)dt-
% \varphi^*(l)}\right\},
% \end{gather*}
% т.\,к. очевидно, что 
% $$
% \left\{\begin{array}{ccl}
% \dot{\psi}&=&-A^T\psi+\lambda,\\
% \psi(t_1)&=&l.
% \end{array}
% \right.
% $$
